Согласно теории, чтобы полностью восстановить исходный сигнал, имеющий спектр с верхней частотой F нужно делать отсчёты c удвоенной частотой, т.е. 2F

В реальности, если мы хотим восстановить кусок синусоиды 20кГц, имея частоту дискретизации 2*20кГц + 1Гц, восстановленный сигнал будет иметь биения с частотой 1Гц (это хорошо видно графически, если нарисовать синусоиду и точки отсчётов на ней: за каждую секунду точки отсчётов будут один раз перемещаться с нулей на вершины синусоиды, давая от полного до нулевого уровня восстановленный сигнал). Чтобы восстановить этот сигнал более-менее правдоподобно, нужно, таким образом, делать отсчёты не реже 4*20кГц = 80кГц, частота биений, вызванных набегом фазы, лежали выше верхней границы спектра (>20кГц)

Насколько мне известно, качество CD имеет при 16-бит разрешении, частоту дискретизации 44.1кГц. Это означает, что любая запись на компакт-диске не может (даже теоретически) обеспечить восстановление сигнала со спектром шире 11кГц без искажения. Почему тогда пишут пишут 20..20000?? И почему выбрали частоту 44.1, хотя очевидно, что правильное восстановление звукового спектра (до 20кГц) при этом обеспечить невозможно?

И ещё, кто экспериментировал с записью реальных звуков. Скажем, шелест бумажки кому-нибудь удавалось записать, а потом реалистично воспроизвести?

44.1/2=22,05кГц. Хотя бы 2 точки на синусоиду для восстановления данной частоты. В чем проблема-то? Математика работает как и все остальное. Звук пишется.

44\2=22

Danger.DM, а вы запишите сигнал 11024Гц при частоте дискретизации 22050 и всё увидите

Кажись уже разобрался: там хотя отсчёты и попадают то в максимумы, то в нули, но, видимо, засчёт алгоритма интерполяции синусоида достраивается более-менее правильно.

fd = 22050, fs = 11000, частота биений 50Гц, модуляция 100%
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
fd =22050, fs = 10000, частота биений 2кГц, модуляция не более 10% (хотя по графику видно куда попадают отсчёты - то, что бы мы получили простым интегратором)
Нажмите для просмотра прикрепленного файла


математика, да, работает неплохо

sv221221, а вы сначала немного разберитесь в вопросе, прежде чем всякую ерунду писать.

Математика хороша не только в теории Про это же столько всего написано, статей, книг, видео всякие сделаны! (зря что ли?) Тем более такая актуальная задача и решали её на должном уровне. (если не углублятся в литературу и книги, можно хотя бы хабр почитать + комменты, видео по этой тематике в ютубе посмотреть)
Вы же сами упомянули теорему Котельникова: http://habrahabr.ru/post/112913/ http://habrahabr.ru/post/197606/

Где-то вообще было замечательное видео, где народ как раз экспериментально показывал как и что получается при преобразовании цифрового сигнала в аналоговый. Насколько достоверно восстанавливается сигнал на верхней границе частотного диапазона (где уже только фактически 2-е точки) из цифрового, потом сравнивалось с исходным сигналом - никаких там ужасов нет, всё прекрасно работает. (попробую его поискать вечером)

Spiros, да, поищите пожалуйста, особенно интересно вот именно восстановление высокочастотных сигналов ограниченной длительности.
(на хабре статья самая общая, там по данному вопросу ничего нет.)


Но где ж я ерунду пишу? Я ниже оговорился, что если после ЦАП поставить обычный RC-фильтр (интегратор), то хоть как будут у нас биения. И на графиках это видно: если по точкам отсчётов провести кривую, будет совсем не то, что получается после интерполяции. (Наверое, лучший результат можно получить резонансным фильтром с какой-то добротностью, настроенным на половинную частоту дискретизации..).

Кстати, мне непонятно, каким образом на практике делают интерполяцию на верхней гранце диапазона. Ведь если после ЦАП поставить обычную RC-цепочку, получим то о чём я говорил. Поэтому просто так взять WAV (как набор точек), пропустить через ЦАП c простым фильтром - ничего мы толком там не восстановим.



upd:
и биения, между прочим, не как сумма, а самое настоящее произведение. То есть будет разностная частота в спектре присутствовать. 20кГц сигнал, 44кГц дискретизация - вот вам 4кГц паразитная гармоника. (повторюсь, если на выход ЦАПа "математику" не навешать)

Вот тут мне подкинули то видео =)
http://www.youtube.com/watch?v=cIQ9IXSUzuM

в ЦАПах, сдюках и прочих устр-вах, многое на самом деле куда хитрее, чем это кажется на первый взгляд... и пока сам с этим всем не столкнешься, наверное, и не осознаешь всю глубину и труд, который когда-то на это был потрачен. (это относится ко многим вещам)

вот ещё нашёл интересную статью, где как раз снимались осциллограммы с выхода разных ЦАП при разных условиях.

(В частности, действительно, если на выходе ЦАП стоит просто ФНЧ (не используется сложная интерполяция) ФНЧ невысокого порядка, имеем те самые биения и кучу гармоник на частотах, близких к fd/2.)

http://3vuk.ru/showthread.php?t=37

Копаться в рассуждениях и экспериментах тех, кто упомянутую математику не учил? смешно. Фильтр - преобразование спектра. Еще есть такие магические заклинания, как Фурье и свертка.

насколько я разобрался в теории, идеальный ФНЧ восстанавливает исхдную форму сигнала только в случае, если сигнал представлен в виде последовательности дельта-импульсов.


доказывая теорему Котельникова, сначала представляем исходный сигнал в виде последовательности дельта-импульсов с весовыми коэффициентами, равными значению функции в моменты отсчётов.
1. Спектр такого сигнала повторяет исходый с периодичностью частоты дискретизации, Fs
2. Чтобы получить из него спектр исходного сигнала, необходимо обрезать все высокочастотные размножившиеся "дубли" спектра. Для этого его перемножают со спектром идеального ФНЧ (прямоугольник) с полосой в точности Fs.
3. При этом, если даже ФНЧ не идеальный, всегда можно выбрать достаточно высокую частоту Fs (или степень крутизны фильра), чтобы "хвосты" соседних участков спектра имели сколь угодно малый вклад.


На этом базируется теоретическая возможность восстановления исходного сигнала по отсчётам.

Однако пример с биениями (при f~Fs) (которые, кстати, отлично видно на осциллограммах в статье по ссылке) очевидно не укладывается в такую теорию.

Почему?

Как следует из доказательства теоремы, идеальный ФНЧ восстановит сигнал без потерь только в случае, если сигнал представлен в виде весовых дельта-импульсов. А простой ЦАП на выходе даёт вовсе даже не дельта импульсы, а обычную ступеньку.

--------------------
Кстати, интересный практический вывод: если научить ЦАП выдавать на выходе дельта-импульсы вместо ступеньки, возможно, качество звука принципиально повысится.

и, между прочим, ШИМ гораздо ближе к дельта-последовательности, чем ступенька.
Следовательно, ФНЧ должен лучше работать при восстановлении ШИМ сигнала, чем при фильтрации ступенчатого сигнала ЦАП.





А каким образом синтезировать аналоговый блок, который бы имел спектр, обратный к sinc (а иначе исходый сигнал из ступенек не восстановишь), я даже ума не приложу.

Может кто разбирасля в вопросе?

"– Кто помнит математику? Какие еще будут мнения? Сидоров!

– Это биения суммы двух частот.

– Математику помнит, но ответ неверный."

На самом деле Сидоров прав.
Оцифровка по котельникову и модуляция - это математически суть одно и то же. Оттуда же и цифровой алиасинг который при модуляции является зеркальным каналом.

Ну и к статье, где приводится картинка с выхода ЦАП с сигналом 22 кГц оцифрованном при 44100 выборок в секунду "соусем нипахожая" на исходный сигнал.

Полученная картинка это сумма сигналов 22 кГц и его алиаса (зеркального канала) в 22.1 кГц (отражение от половинной частоты дискретизации). Потому она и похожа на АМ-модулированный сигнал с подавленной несущей. Чтобы получить на входе синус 22 кГц - выходной сигнал нужно пропустить через ФНЧ, который этот алиас подавит. Чем сильней подавит, тем больше выходной сигнал станет похожим на синус. Само собой требования к такому фильтру получаются просто невероятные.
Для реального сигнала в 20 кГц ослаблять нужно будет 24.1 кГц, что уже значительно легче, хотя требования к фильтру все равно весьма и весьма суровые.
Ну и при оцифровке нужно входной сигнал также фильтровать, чтобы не было на выходе составляющих выше 20 кГц, которые создадут более низкочастотный алиас, попадающий в полосу ФНЧ.

Таким образом, война аудио-ЦАПов сводится по сути к войне фильтров.

По математике, ФНЧ только дельта-последовательность восстанавливает точно. Если это не ШИМ, то на выходе ЦАП - ступенчатая функция, т.е. ФНЧ даже математически не восстановит исходный сигнал.

Будет завал на ВЧ (что вполне очевидно, т.к. спектр ступеньки с 1/44кГц имеет ширину лепестка 44кГц).
Возможно, это также даст какие-то ещё побочные эффекты (что мне сейчас не очевидно)

И, думаю, удвоить частоту дискретизации намного проще, чем сделать такой фильтр, который бы полностью отрезал 22кГц от 20кГц.

Хотя, на практике мне пока не удалось обнаружить разницу между 44.1 и 96кГц

Частота 44100 для бытовой аппаратуры была выбрана в угоду совместимости со существовавшей тогда студийной аппаратурой SONY с частотой 88200, стандарт этот приказал вскоре долго жить, а мы (цапостроители и т.п.) теперь мучайся.