Доказать, что для жидкости плотности ρ с коэффициентом кинематической вязкости ν, заключенной в конечном объёме ω с неподвижной твёрдой границей, величина диссипации энергии дается формулой Ф=ρν∫|rotV|^2dω, где интеграл считается по ω, а V - вектор скорости.

Вообще, диссипативная функция вычисляется по формуле Ф=2ρν∫D:Ddω (интеграл опять же по ω), где D:D - это свёртка тензора скоростей деформации, определяемая по формуле D_ijD_ij (суммирование по повторяющимся индексам). Т.е получается, что нужно из выражение 2D:D получить |rotV|^2, а как это сделать я не понимаю. Единственное, я знаю, что из условия прилипания мы имеем, что нормальная и касательная компонента скорости равна 0.

Буду очень благодарна, если кто-нибудь поможет решить эту задачку или хотя бы подскажет основную идею решения.

1. Запишите rotV через производные от скорости.
2. Возведите в квадарат.
3. Под интегралом смешанные произведения дважды проинтегрируйте по частям,
"перебросив" производные с одного сомножителя на другой.
4. Воспользуйтесь divV=0

Извиняюсь, но что-то я данный алгоритм плохо понимаю. Почему Вы начинаем с ротора скорости, а не с тензора скоростей?
А ещё у меня проблема с интегрированием по частям данных смешанных произведений.

Вам предлагается доказать, что один интеграл равен другому.
Можно из "А" доказывать "В", а можно и наоборот.
На мой взгляд, из ротора диссипация получается вроде как нагляднее , чем наоборот.
Интегрирование по частям. Вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница.
(не знаю, как тут интеграл записать, придется использовать обозначение \Int)
\Int f'gdt = fg + \Int fg'dt
Обозначим производную от U по x как U_x. Аналогично и другие производные.
\Int U_x*V_ydxdy = - \Int U*V_yxdxdy = \Int U_y*V_xdxdy
Этот прием и называется "перебрасывать производные"
В первый раз мы интегрировали по x, а во второй по y. Внеинтегральные слагаемые (их называют краевые)
равны 0, поскольку скорость на границе 0. (условия прилипания).
Таким образом интегрируются смешанные произведения. А дальше небольшие алгебраические преобразования

Спасибо большое!
Попробую решить! Надеюсь, вопросов больше не возникнет.