Форум Академгородка, Новосибирск > Задача по матану
Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь
Полная версия этой страницы: Задача по матану
Форум Академгородка, Новосибирск > Образование > Задачник
Schaller
Всем привет, эту тему я проходил в универе в 2003 году, основательно все забыл. Сейчас в силу некоторых обстоятельств надо освежить знания.

Споткнулся о простую, казалось, задачу - доказать сходимость последовательности по определению (т.е. для любого epsilon найдется N, что для любого n > N |x_n - a| < epsilon) для x_n = 1 / n! - т.е. надо выразить N через epsilon

Что делать с факториалом? Оценить сверху n^n и логарифмировать? Получается какая-то ерунда. Подскажите, пожалуйста.
Eyeless Watcher
А зачем n^n? Для сходимости достаточно n, тогда и зависимость N от epsilon получится куда проще.
Nikgamer
А почему бы просто не положить а=0 (ведь предел то очевидно равен нулю) и подобрать такое N, чтобы для всех n>=N выполнялось неравенство |1/n!|<eps. Например, в качестве N можно взять 2/(eps). Тогда для всех n>=N справедливо 1/eps<2/eps(=N)<=n<=n! чтд.
Schaller
Цитата(Nikgamer @ 05.09.2010, 15:40) *
А почему бы просто не положить а=0 (ведь предел то очевидно равен нулю) и подобрать такое N, чтобы для всех n>=N выполнялось неравенство |1/n!|<eps. Например, в качестве N можно взять 2/(eps). Тогда для всех n>=N справедливо 1/eps<2/eps(=N)<=n<=n! чтд.


Про ноль-то понятно. 2/eps - слишком грубо, задача не сколько доказать сходимость, сколько точнее выразить N(eps). В задачнике ответ N = 1 + (lg(1/eps) / lg2). Как он получается - не хватает фантазии.
tuchka
Цитата
Что делать с факториалом? Оценить сверху n^n и логарифмировать?

Формула Стирлинга
ln(N!)=Nln(N)-N+O(ln(N))
очевидно выделенное жирным подходит в качестве ln(1/eps)
Schaller
ln(1/eps) получить не проблема - я, например, оценивал n! сверху n^n и получалось N * ln(N) > ln(1/eps), что несколько грубее чем если делать через ф-лу Стирлинга. Только непонятно, что делать с N ln(N).
tuchka
Хм, очевидно в задачнике в качестве eps подставлялась величина 1/2^(n-1)
Как это связать с ИРЛ непонятно, но простые рассуждения показывают что эта эпсилон подходит для всех членов ряда (даже для 1! 2! 3!, для того и введена минус единица в степени)...
lib
Цитата(Schaller @ 07.09.2010, 17:59) *
ln(1/eps) получить не проблема - я, например, оценивал n! сверху n^n и получалось N * ln(N) > ln(1/eps), что несколько грубее чем если делать через ф-лу Стирлинга. Только непонятно, что делать с N ln(N).

Вы не с той стороны оцениваете smile.gif. n! надо оценивать снизу, поскольку он в знаменателе. Стандартная оценка 1/n! < 1/n < eps (при n>1). Ответ не догма. От Вас требуется найти какое-то N(eps), не самое маленькое.
EVGен
Тема не закрыта, быть может даже актуальна, поэтому напишу.
Цитата(Schaller @ 06.09.2010, 0:37) *
... задача не сколько доказать сходимость, сколько точнее выразить N(eps). В задачнике ответ N = 1 + (lg(1/eps) / lg2)...

В задачнике в ответе приведена некоторая оценка N(eps) = 1 + [-ln(eps) / ln2]
Ну давайте получим такую же оценку: при n > 3 верно неравенство n! > 2^n, т.е. 1/(n!) < 1/(2^n). Оценим большую последовательность: 1/(2^n) < eps => 2^n > 1/eps => N(eps) = 1 + [-ln(eps) / ln2].
Для малых значений epsilon можно получить и более точные оценки типа N(eps) = 1 + [-ln(eps) / ln(k)], где k = const, для этого надо исходить из того, что n! > k^n начиная с некоторого n.
Schaller
EVGен, спасибо!
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.
Русская версия IP.Board © 2001-2024 IPS, Inc.