Это тестовая тема, находится в стадии разработки. Пока в списке 61 задача. Возможно, со временем, здесь будут находиться все условия задач, когда-либо размещенные в разделе "Задачник". Деление на разделы, достаточно условно. Пока все задачи в одном списке, но затем, будут дополнительно отсортированы по принципу "стандартные, нестандартные". Щелкнув на название задачи (напр 1.Колонии микроорганизмов, (с) Сергей Подзоров), можно перейти на соответствующую ей тему, где она была обсуждена.

I. Математика
Раздел 1 Занимательные задачи (14 задач)
Раздел 2 Планиметрия (6 задач)
Раздел 3 Вероятность (11 задач)
Раздел 4 Мат.анализ (5 задач)
Раздел 5 Алгебра и Мат.логика (2 задачи)
Раздел 6 Дискретная Математика (1 задача)
Раздел 7 Теория Чисел ( 6 задач)
Раздел 8 Алгоритмы, программирование (1 задача)
II. Физика
Раздел 1 Задачи с международных олимпиад по физике (5 задач)
Раздел 2 Занимательная физика (10 задач)


Раздел 1 Занимательные задачи

1. Колонии микроорганизмов, (с) Сергей Подзоров
Колония неких организмов живет в квадратных клетках и размножается из года в год. Клетки примыкают одна к другой, как на шахматной доске или на листе клетчатой бумаги. Клетки считаются соседними, если у них есть общая граница. Таким образом, у каждой клетки не больше четырех соседей (ровно четыре, если поле бесконечно во все стороны, но может быть меньше, если клеток ограниченное количество).
Один раз поселившись в какой-либо из клеток, организм уже никогда не умирает. Новые клетки заселяются по следующему закону: если в году t клетка была пустой, то в году t+1 она окажется заселенной в том и только в том случае, если у этой клетки в году t было не менее двух заселенных соседей.
Немного похоже на "жизнь", но правила гораздо проще.
Вопрос заключается в следующем. Можно ли в поле 10 на 10 изначально засеять 9 клеток так, чтобы через некоторое количество лет оказалось засеянным все поле?

2. Как разместить кляксу?
Имеется бесконечный, разлинованный на квадратики лист бумаги. Сторона квадратика 1см. Случайным образом на лист попадает клякса, суммарная площадь которой меньше 1 см*см(сантиметра квадратного). Требуется доказать для любой кляксы, что с помощью её сдвигов и поворотов, кляксу возможно расположить таким образом, чтоб под ней не было ни одного узла(т.е. пересечения линий).

3. Угадайте числа.
Сидят два чела напротив друг друга. Между ними картонка, на которой с обеих сторон написаны два натуральных числа, отличающихся на 1, и оба это знают. Первый говорит: "я не знаю, какое число написано у тебя" второму. Второй отвечает: "И я тоже не знаю, какое число написано у тебя". Первый отвечает: "А я знаю, какое число написано у тебя!" Второй отвечает: "И я знаю, какое число написано у тебя!"
Вопрос: какие числа были у них написаны?

4. Определить фальшивую монету
Есть электронные весы (точность весов - до 1 грамма) и 30 мешочков с монетами, в каждом мешочке не менее 30 монет. Известно, что в одном мешочке все монеты фальшивые. Настоящие монеты весят два грамма, фальшивые отличаются от настоящих по весу на один грамм (в любую сторону).
Как с помощью одного замера на весах определить в каком мешочке все монеты фальшивые и как определить легче они, или тяжелее, чем настоящие?

5. Шары в ящиках
На столе 3 ящика, в одном лежит черный и белый шар, в другом белый и белый, в третьем черный и черный. Причем на кажом ящике подпись: ЧБ, ББ, ЧЧ, но не одна надпись не соответствует содержанию ящика. Вопрос в том, как вытащив один шар из любого (одного) ящика определить содержание всех трех ящиков.

6. Многоугольный билльярд
Есть биллиардный стол в виду многоугольника (необязательно выпуклого), у которого все углы - целое число градусов и угол A ровно в 1 градус. В каждой вершине стоят точечные лунки. Из вершины А вылетает точечный шарик. Доказать, что обратно в А он никогда не вернется

7. Загадка Эйнштейна.
Альберт Энштейн придумал эту загадку в начале прошлого столетия. Он пологал, что 98 процентов людей не смогут решить ее. Пропорция 98:2 с тех пор не изменилась. Узнайте, принадлежите ли вы к этим гениальным 2 процентам?
1. Есть пять домов разного цвета: красный, зеленый, белый, желтый и синий.
2. Каждый населен человеком разной национальности: немец, швед, датчанин, норвежец и англичанин.
3. Каждый из них пьет один вид напитков, курит одну марку сигарет и держит одно домашнее животное.
4. Каждый из них уникален в пределах группы (напиток, марка сигарет, животное не повторяется!).
Вопрос: кто держит рыбку? (... дополнительные условия читайте по ссылке на задачу)

8. Простая задачка, Профи отдыхают
Что лучше для покупателя - снижение цен на 1 процент или увеличение его зарплаты на 1 процент.

9. Мудрый таракан
Мудрый таракан, который видит не дальше, чем на 1 см, решил отыскать Истину. Находится она в точке, расстояние до которой D см. Таракан может делать шаги, каждый длиной не более 1 см, и после каждого шага ему говорят, приблизился он к Истине или нет. Таракан может помнить всё, в частности направление своих шагов.
Доказать, что он сможет отыскать Истину, сделав не более (3/2)*D+7 шагов.

10. Про грязнуль, мудрецов и т.д.
Дело было в стародавние времена, когда самолетами никто не летал, ну а на тройках солидному человеку ездить было не с руки. Поэтому все ездили на паровозах. И вот, так случилось что в одном купе вагона собралось N-e число пассажиров. И пассажиры эти были ну совсем не обычные, дело в том, что они были жуткими ленивцами, но при этом у них было развито абсолютно строгое логическое мышление. Поезд тронулся, но в купе было жарко. Один из пассажиров открыл окно и дым от паровоза испачкал лица некоторым из них. Когда пришел кондуктор проверять билеты, он тактично намекнул: "Господа, кое-кто из вас испачкал лицо". Через три остановки поезда на полустанках все пассажиры были умыты и чисты. Хоть это было и давно, но на полустанках могло умываться неограниченное число пассажиров. Так же, отмечю еще раз, что пассажиры были жутко ленивы и никто из них не пойдет умываться если не будет уверен на 100% что у него грязное лицо, все они мыслят строгой логикой. И так вопрос: Сколько было пассажиров с испачканными лицами и сколько было с чистыми лицами?

11. Задачка для второго класса церковно-приходской школы, придуманная Львом Толстым. Прим. "Опрос"
Продавец продает шапку, которая стоит 10 РУБ. Подходит покупатель, меряет и согласен взять, но у него есть только 25 РУБ. Продавец отсылает мальчика с этими 25 рублями к соседке разменять. Мальчик прибегает и отдает 10+10+5. Продавец отдает шапку и сдачу 15 РУБ.
Через какое-то время приходит соседка и говорит, что 25 РУБ фальшивые, требует отдать ей деньги. Ну, что делать, мужик лезет в кассу и возвращает ей деньги.
Вопрос: на какую сумму в результате "налетел" продавец?

12. Загадка для детей начальных классов.
Корова - 2
Овца - 2
Свинья - 3
Собака - 3
Кошка - 3
Утка - 3
Кукушка - 4
Петух - 8
Ослик - ?

13. Поход девочки с собакой из A в B, Как бы "школьная" задачка, да не совсем. Прим. Очень интересное обсуждение
Итак, прямая дорога AB, длиной, скажем, 10 км. Ровно посередине между A и B стоит дом D.
Из A в B выходит девочка со скоростью 5 км/ч, одновременно с ней из A в сторону D выбегает собака со скоростью 15 км/ч и начинает бегать между девочкой и D (т.е. по достижении D разворачивается и бежит к девочке, по достижении девочки разворачивается и бежит в D, и.т.д.).
Вопрос - в какой точке будет собака, когда девочка дойдет до B?

14. 3 лампочки и 3 выключателя.
В одной комнате 3 выключателя, в другой 3 лампочки. К каждой лампочке ведет свой выключатель. Заходим один раз в одну комнату, другой раз в другую и определяем какойц выключатель какой лампочкой управляет.

Раздел 2 Планиметрия

1. Теорема: все треугольники равнобедренны.

2. Целочисленные тангенсы углов.
Есть такой треугольник, у которого тангенсы всех углов - целые числа. Найти эти числа.

3. Необычные построения
а) Разделить угол 19 градусов на 19 частей.
б) Разделить угол 7 градусов на 7 частей.

4. Симпатичная задача на построение (вроде олимпиадная):
даны отрезки с длинами x и y. Циркулем и линейкой построить отрезок длиной sqrt(xy).

5. Отношения высот и сторон треугольника
а)Высоты треугольника составляют геометрическую прогрессию. Найти отношения сторон этого треугольника.
б)Высоты треугольника составляют арифметическая прогрессию. Найти отношения сторон этого треугольника.

6. Необсужденная на этом форуме задача на построение. Решений предложено не было.
Построить квадрат так, чтобы заранее заданные 4 точки оказались на его сторонах или на их продолжениях.

7. Задача про шестиугольник, с параллельными противоположными сторонами
Дан шестиугольник с параллельными противоположными сторонами. Надо доказать, что три прямые, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Раздел 3 Вероятность

1. Квадрат и отрезки.
На плоскости дан квадрат со стороной 1. В квадрате нужно расположить некоторое количество отрезков так, чтобы любая прямая, принадлежащая этой плоскости и проходящая через квадрат, пересекалась хотя бы с одним отрезком. При какой наименьшей сумме длин отрезков это возможно? Отрезки могут располагаться как угодно в пределах квадрата и их число не ограничено.

2. Коллекция покемонов.
Мальчик собирает изображения покемонов, которые кладут в пакетики с печеньем. Всего разных покемонов - 100 штук. Сколько пакетиков в среднем придётся купить родителям мальчика, чтобы он собрал всю коллекцию? В каждый пакетик случайно и независимо от содержимого других пакетиков кладётся один покемон.

3. Бросаем кубик.
Допустим, вероятность того, что при броске кубика выпадет шестерка - ровно 1/6. Вам редко повезло - вы только что выбросили шестёрку аж шесть раз подряд. Какова вероятность того, что теперь, на седьмой раз, опять выпадет шестёрка? Кто как считает (><=1/6)?

4. Три арестанта в тюрьме
Сидят три арестанта в тюрьме. За дверью охранник. И охранник говорит, что утром одного из троих казнят. Т.е. вероятность у каждого 1/3. Но охранник не может сказать, кого именно казнят. Но он показал на человека, которого точно не казнят. И у оставшихся получилась вероятность 1/2. Вопрос: Почему так получается? Ведь, каждый знал, что один из двоих других точно не будет казнен. И всего, на всего, стоило показать, кто именно, как вероятность увеличилась.

5. Как вытягивать билет?
Дано: экзамен сдают N студентов, которые заходят по очереди в комнату и тянут один из N имеющихся билетов, забирая его с собой. Таким образом, последний студент берёт оставшийся билет.
Вопрос задачи: вы выучили всего один билет. Когда выгоднее заходить - вначале или ближе к концу (чтобы повысить вероятность вытянуть то, что вы знаете)?

6. Три шкатулки
Идет телеигра, ведущий выносит три шкатулки, в одной из которых находится приз. Игрока просят выбрать шкатулку, ведущий, желая выигрыша игрока, открывает одну из трех шкатулок в которой нет приза (отличную от выбора игрока). Вопрос: Должен ли игрок открыть ту шкатулку, которую он выбрал до подсказки ведущего, или все-таки открыть другую?

7. Две шкатулки
Итак, предлагается сыграть в игру. Есть две коробочки с деньгами, причем известно что в одной денег в два раза больше чем в другой. Вам предлагается выбрать какую-либо. Тыкаетесь - там 100 рублей. После этого дается выбор взять эту коробку или вторую. Какую предпочтете и почему ?

8. Проблемы со сдачей у кассира
За билетом в очередь случайно выстроились N1 человек с рублями и N2 человек с двушками. Один билет стоит рубль, в кассе изначально денег нет. Какова вероятность того, что у кассира будут проблемы со сдачей?

9. Окружность и хорда
Берем окружность и случайным образом проводим в ней хорду. Какова вероятность того, что длина хорды будет больше длины стороны равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность? Кто первым получит правильный ответ?

10. MS Minesweeper, Какова вероятность не проиграть?
Известная игра "минер". Какова вероятность, в режиме Expert, не проиграть?

11. Вероятность выпадения орла. Вопрос.
Вбрасывается монета 12 раз каждый раз выпадает как полагается либо орел, либо решка 0.5 вероятность выпадения орла с первого раза какова вероятность выпадения орла (хотя бы один раз) из 2,3,4,...,11,12 раз? То есть (поясню на всякий случай) допустим кидаем монету 8 раз, какова вероятность выпадения орла как минимум 1 раз?

Раздел 4 Мат.анализ

1. Вычислить предел.
Найти предел при n->infinity отношения: x(n)/[x(1)*...*x(n-1)], где x(n+1)=x(n)^2 - 2, x(1)=5.

2. Решить трансцендентное уравнение.
x + e^x = a, где a - константа, и надо найти x. Здесь x = \alpha k v + ln(\alpha (\alpha-1) k (c_1 - c_0) b^{-\alpha}),
В начальной формулировке выглядело как:
(c1-c0)*(b в степени (-alfa))*e(в степени (alfa*k*v))*(alfa-1)+v=1/k+p+c0
Его нужно решить относительно v, Здесь с1,с0,alfa,p,k,b константы, e - основание натурального логарифма

3. Какие функции имеют своим графиком гладкую кривую?
Предложите недифференцируемую функцию, действующую из R в R, график которой является гладкой кривой.

4. Задача по smart-анализу, f(f(x)) = exp(x), f(x) = ?
f(f(x)) = exp(x), f(x) = ? x вещественно, f вещественна и непрерывна.

5. Решить функциональное уравнение f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)
Уравнения f(x+y) = f(x) + f(y) и f(x+y) = f(x) f(y) легко решаются. Решите f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y).

6. Исследовать свойства функци sin(arccos(x)) и arccos(sin(x))
Для функций f(x)=sin(arccosx) и g(x)=arccos(sinx) установить, являются ли они четными, нечетными, париодическими. Ответ обосновать.

Раздел 5 Алгебра и Мат.логика

1. Конечная система конечной сигнатуры s.
Пусть A - конечная система конечной сигнатуры s. Записать предложение m сигнатуры s такое, что условия ""B╞s" и "A изоморфно B" равносильны для любой системы B той же сигнатуры.

2. Как перемножить две матрицы 3х3?
Нужен алгоритм как перемножить две матрицы 3х3, используя 23 или 24 умножения. (операцию деления, ровно как и умножение на обратный, применять нельзя).

Раздел 6 Дискретная Математика

1. Выбор партнера для танца.
На вечере собралось несколько юношей и девушек. При этом оказалось, что если выбрать любую группу юношей, то число девушек, знакомых по крайней мере с одним из юношей этой группы, будет не меньше числа юношей в группе. Доказать, что все эти вьюноши одновременно смогут танцевать каждый в паре со знакомой девушкой.

Раздел 7 Теория Чисел

1. Задачи о числах Фибоначчи
i. Объясните, как складывать целые положительные числа, действуя исключительно в фибоначчиевой системе счисления?
ii. Охарактеризуйте все такие N, что вычеты чисел Фибоначчи Fn mod N для n>=0 образуют полное множество {0,1,...,N-1}
(Здесь, по-видимому, надо воспользоваться тем, что если m и n - целые положительные числа, то существует целое x, такое что Fx сравнимо с m по модулю 3^n)

2. Существует ли такое число?
Натуральное число a содержит в десятичной записи n цифр, а a^3 (т.е. a*a*a) содержит m цифр. Может ли сумма n+m равняться 2001?

3. Количество цифр в числе
а) Найти количество нулей, которыми заканчивается число 1000! (тысяча факториал)
б) Найти количество цифр в числе два в тысячной степени.

4. Подсчитать количество "некорректных" билетов
Есть такая веселая игра: берем номер автобусного билетика, например 3 5 1 1 2 7 обычно в билетах 6 цифр. задача состоит в том, чтобы при помощи знаков сложения, умножения и деления, возведения в степень (постфиксная операция), извлечения корня(префиксная операция) получить из этих цифр число "100". цифры менять местами нельзя, объединять тоже нельзя. скобки расставлять можно.
Внимание вопрос: каков процент "нерешабельных" билетиков? (т.е. очевидно что такие есть, например 1 0 0 0 0 0. В то же время есть и те из которых можно получить сотню(смотри первый пример)).

5. (n-1)!/n, Несложная задачка на целые числа
Найти все натуральные n, для которых (n-1)!/n не является целым.

6. Свойства суммы гармонического ряда
p - простое, p>=5. Ясно, что сумма гармонического ряда до p(т.е. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... 1/p) можно представить в виде несократимой дроби вида r/(ps). Доказать, что r сравнимо с s по модулю p^3. (т.е. r и s дают один и тот же остаток при делении на p^3).

Раздел 8 Алгоритмы, программирование.

1.Извлечение кубического корня из числа N
На вход поступает целое число N, на выходе необходимо выдать максимальную целую аппроксимацию кубического корня из N. Необходимо придумать алгоритм, использую только оперции +, -, и сравнения. Нельзя использовать вложенные циклы, операции *, /

Физика

Раздел 1 Задачи с международных олимпиад по физике

1. Экспедиция.
Научная экспедиция, находящаяся на необитаемом острове, исчерпала все свои источники энергии. На этом острове нет ветров, не текут ручьи, небо покрыто толстым слоем туч, атмосферное давление - постоянное, а температура воздуха и воды в омывающем остров необыкновенно спокойном океане днём и ночью одинакова. На острове был обнаружен источник химически нейтрального газа, выделяющегося с постоянной скоростью из одной пещеры. Газ выделяется при атмосферном давлении и температуре окружающей среды. Члены экспедиции располагают двумя полупроницаемыми плёнками, из которых одна свободно пропускает обнаруженный газ, являясь одновременно полностью непроницаемой для воздуха, вторая плёнка, наоборот, пропускает воздух, но не пропускает газ. Кроме того, экспедиция имеет возможность конструировать простые механические устройства, например, в виде цилиндров с прошнем и клапанами, и члены экспедиции решили построить двигатель.
Докажите, что можно построить такой идеальный двигатель, работающий на этом газе, что теоретически мощность этого двигателя не будет ограничена.

2. Взвешивание.
Деталь, изготовленная из алюминия, взвешивается на аналитических весах с помощью латунных гирь. Один раз взвешивание производится в сухом воздухе, второй раз - во влажном при давлении паров воды 2000 Па. Общее атмосферное давление (100000 Па) и температура (20 градусов Цельсия) в обоих случаях одинаковы.
При какой массе детали можно заметить разницу в показаниях весов, если их чувствительность 0,1 мг?
Плотность алюминия 2700 кг/м^3, латуни 8500 кг/м^3.

3. Полёт пробирки.
Пробирка массой M находится в вакууме. Перегородка массой m и пренебрежимо малой толщины разделяет объём пробирки на две равные части. В закрытой части пробирки содержится n молей одноатомного газа с молярной массой M0 при температуре T. Перегородка освобождается и, двигаясь без трения, вылетает из пробирки. Затем вытекает из неё и газ.
Какова будет конечная скорость пробирки, если в момент начала движения перегородки пробирка была неподвижна?
Газовая постоянная R известна. Ипульсом газа до вылета перегородки, а также теплообменом между газом, с одной сторны, и пробиркой с перегородкой - с другой, можно пренебречь. Изменением температуры газа после вылета перегородки пренебречь, земное притяжение не учитывать.

4. Пустыня.
Представьте, что вы стоите посередине широкой плоской пустыни. Вдали вы видте нечто похожее на водную поверхность. Когда вы приближатесь к "воде", она постепенно удаляется от вас, так что расстояние до "неё" всё время остаётся равным 250 м. Объясните этот феномен!

5. Вешалка.
Дана проволочная вешалка, которая качается с маленькой амплитудой в плоскости чертежа относительно заданных положений равновесия. В положениях 1 и 2 длинная сторона расположена горизонтально. Две другие стороны равны между собой. Во всех трёх случаях 1, 2, 3 возникают колебания с одинаковыми периодами. Где лежит центр масс и каков период колебаний?
Из эскизов не могут быть сняты другие данные, кроме размеров. В частности, распределение массы вешалки в деталях нам неизвестно.

Раздел 2 Занимательная Физика

1. Вопрос про скин-эффект (как интерпретировать?)
Широкая плита с проводимостью $\sigma$ и магнитной проницаемостью $\mu$, ограниценная плоскостями $x \pm h$, плотно обмотана проводом, по которому протекает переменный ток $J_0 e^{-i \omega t}$. Число витков на единицу длины $n$, витки параллельны друг другу. Найти амплитуду магнитного поля внутри плиты, пренебрегая краевыми эффектами в случаях: а) слабого б) сильного скин-эффекта.

2. Взлетит ли самолет?
Самолет (pеактивный или винтовой) стоит на взлетной полосе с подвижным покpытием (тpанспоpтеp).
Покpытие может двигаеться пpотив напpавления взлета самолета. Оно имеет систему упpавления, котоpая отслеживает и подстpаивает скоpость движения полотна таким обpазом, чтобы скоpость вpащения колес самолета была pавна скоpости движения полотна.
Вопpос: сможет ли самолет pазбежаться по этому полотну и взлететь ?

3. Про картошку
Какая картошка окажется наверху, крупная или мелкая, если долго встряхивать ведро со смесью крупных и мелких картофелин?

4. Сопротивление решётки резисторов
On an infinite, two-dimensional, rectangular lattice of 1-ohm resistors, what is the resistance between two nodes that are a knight's move away?

5. Сопротивление цепочки резисторов из N звеньев
На рисунке представлена цепь, состоящая из N звеньев. Требуется найти её сопротивление, считая для простоты все сопротивления равными единице.

6. Задача про удар по юле, Школьная задачка
Почему, если вертящуюся юлу ударить, то она вернется в то же место, где крутилась до удара?

7. В какой кастрюле вскипит быстрее?
В какой кастрюле вода закипит быстрее: в той, где сырая вода, или в той, где вода кипячёная? Исходные температуры и количества воды одинаковы. Обосновать ответ.

8. Капля из мезозоя. Задача-оценка.
В эпоху мезозоя на землю упала капля, и уже в наше время некий ученый увидел ее отпечаток. Его мучила жажда, поэтому он достал фляжку с водой, сделал глоток и задумался: "А сколько молекул воды во фляжке произошли из этой капли?

9. Задача для радиомонтажницы-блондинки, или для радиолюбителя-кипятильника. Прим. "Опрос" by Layout
У радиомонтажницы была катушка из круглой проволки определенного сплава с диаметром металлической жилы "d". Затем она перемотала эту катушку проволокой из этого же сплава но с внутренним диаметром "2d". Масса проволоки в обоих случаях одинакова.
Вопрос: во сколько раз изменилось сопротивление катушки. Как-то у меня возникла подобная жизненная задача. Сперва я ошибся, но ведь это я, а вы? Статистика по студентам, радиомонтажницам, школьникам и др. естесственно отсутствует т.к. задача чисто моя.

10. Врашающийся цилиндр
Сплошной цилиндр радиусом R, вращающийся с угловой скоростью W, ставят на шероховатую горизонтальную плоскость. Коэффициент трения - (мю)(не знаю как этот символ написать). Сколько оборотов сделает цилиндр?

11. Траектория тени
Нарисовать траекторию конца тени от вертикально стоящей палочки в солнечный день 22 июня в Новосибирске. Оцените долготу дня. Проследите эволюцию траектории со временем. Что будет на других широтах?

12. Количество соударений шаров (задача В.В. Иванова)
Возле жесткой стенки (но достаточно далеко) на горизонтальном полу лежит шар массы <M>, на перпендикуляре между этим шаром и стенкой лежит шар массы <m> ( m<M). Большой шар начинает двигаться точно к стенке с какой-то скотостью. Малый шар начинает биться между стенкой и большим шаром (все соударения абсолютно жесткие и лобовые). Далее N - число ударов малого шара со стенкой и большим шаром. Доказать что при (M/m--> бесконечность), (N/sqrt(M/m) --> Pi) где N число соударений малого шара с большим и стенкой.