дано:
имеется статья - http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrni...option_lang=rus

В этой статье на странице 3 имеется формула(4) дающая решение P. На странице 2 есть формулы для Альфа0 и функций Фи. Необходимо исследовать эту формулу на устойчивость по отношению к входным данным(Последовательность Кси).
А именно : решение называется устойчивым по отношению к входным данным если :
для любого Эпсилон>0 Существует Дельта >0 такое что, если || Z - Z* || < Эпсилон то || P - P* || < Дельта.
Здесь Z - входные данные. P - Решение(которую дает формула 4). Z* и P* - возмущенные данные и решение соответственно.

Пространство L2[0..a]x[0..b] с нормой корень интеграла(0..a) от интеграла(0.. f(x,y)^2 dxdy и скалярным произведением (f,g) = интеграл(0..a) от интеграла(0.. f(x,y)*g(x,y) dxdy

Возмущение входных данных я ввожу так:
Кси_Возмущенное = Кси + Какая_то_функция Гамма.
Причем бесконечная сумма (Кси - Кси_возмущенное) < Эпсилон.

P* - то же самое P только вместо Кси там везде Кси + Гамма.

Требуется найти Дельта которая находится оценкой сверху нормы || P - P*||.

Кто поможет? И что с меня за это?

В формулировке, похоже, путаница.
Обычно, для всякого Эпсилон найдется Дельта такое, что если входные данные отличаются меньше Дельта,
то выходные данные отличаются меньше Эпсилон. Поэтому разность норм для Р сравниваем с Эпсилон, а для Кси - с Дельтой. Но это так, к слову.
Прежде всего надо разобраться с функ. пространствами. Судя по той ссылке, речь идет о L2.
Для Р, очевидно, L2(П), а для Кси - l2 (для последовательности)(см. также неравенство перед формулой (3)).
Формула (4) содержит два слагаемых: Альфа0 и СуммаПоТ. Надо разобраться с каждым по отдельности.
Первое слагаемое линейно по Кси, функции Фи- ортонормированы. Значит для него Епсилон <= sqrt(ab)*Дельта.
Второе слагаемое сумма по ортонормированному базису вида
сумма по t : A(ksi,t)*Fi(t).
Если "возмутить" ksi, то получится новая сумма вида B(ksi1,t)*Fi(t).
Тогда для этого возмущения
Епсилон <= sqrt(ab)*sqrt(Сумма по t: (A(t)-B(t))^2);
Таким образом надо оценить A(t)-B(t). Для этого замечаем, что A(t)иB(t) квадратично зависят от Кси, а Фи- это просто косинусы (куча интегралов ОБНУЛЯЕТСЯ). Отсюда с помощью неравенства Коши не оч. сложно получить оценку
|A(t)-B(t)| <=C(t)*||ksi - ksi1||.
Здесь C(t) - это что то типа
||ksi(t)|| * SummaJ(1.0/(Lam(t)-Lam(j)).
Надо эту оценку аккуратно обсчитать, а потом собрать все вместе (с оценкой для Альфа0)

ХиПси спасибо, вроде бы все понял.
Вопрос такой, помимо исследования на устойчивость по этому Кси, что еще надо исследовать?
По Кси - это как я понимаю устойчивость по входным данным. Еще какие виды устойчивости надо рассмотреть, если проводится полное исследование на устойчивость метода.
Насколько я знаю еще есть вычислительная устойчивость, которая вычисляется погрешностями всякими.
А еще?

Это зависит от ВАШЕЙ задачи. Чего Вы. собственно говоря, хотите.
С практической точки зрения, при решении задач дело обычно обстоит примерно так.
1. Существование и единственность решения.
2. Гладкость (или принадлежность каким то функ. пространствам).
3. Устойчивость (непрерывность) в неких функ. пространствах.
4. Какие то иные "интересные" свойства. В данно случае - маловероятно, но например, знакоопределенность потенциала при некоторых условиях.

Пункт 1 рассмотрен в вышеупомянутой заметке. Отмечу, качество заметки - не очень. Какая то муть. Спектр комплексный, потенциал вещественный - это как? Обозначения странные. Ну да ладно.
По уму, стоило бы взглянуть на оригинальную статью или на статью предшественника (похоже, что Седова, судя по цитированию).
Не исключено, что там уже обсуждается и проблематика, и возможные подходы/результаты.

Гладкость. Откуда взялось про-во L2? То ли это по-существу, то ли издержки метода, то ли автор "не знает" других пространств.
Здесь можно было бы "поковыряться". Не берусь ничего утверждать, но мне этот выбор не кажется очевидным. Лень самому применять
теорию возмущений. Вообще в заметке много "магических" величин. Бета больше 3/2 например. Это что, из теорем вложения? или как?

Устойчивость. Тесно связана с гладкостью. Обычно, где разрешимость, там и устойчивость. В идеале, надо бы найти "естественное" про-во для потенциала. Это если изучать задачу "теоретически".
Ежели речь идет о практических вычислениях, то надо бы получше провести оценки для разности точного и приближенного решения, учитывая, что даже супер-пупер компьютеры не в силах сосчитать бесконечные ряды.