можно ли обобщить?
Лемма (о полувычете).
Если z0 является простым полюсом функции f(z), то lim r→0. Im z≥0. ∫. |z−z0|=r f(z)dz = πi res f(z0)

Вообще говоря нужно посчитать интеграл вида e^3ix /x^3 в пределах от минус до плюс бесконечности.
ДЛя этого нужен вычет в нуле, но т.к. наш контур - полуокружность - то вообще непонятно как его считать - полюс порядка три..

Вычет частного двух функций равен отношению числителя к производной знаменателя

для пполюса первого порядка) а тут третий.
К тому же проблема - не посчитать вычет, а соотнести интеграл по полуокружности с центром в нуле с радиусом стремящемся к 0 с вычетом в нуле

Собсно, берешь интеграл по границе области D, он будет равен нулю, так как в нее не попадают особые точки.
Далее, интеграл по границе расписываешь , как сумму интегралов по [-R;-p], [p;R], Г1, -Г2.
По лемме Жордана - интеграл по Г1 ->0 ( R->бесконечности ) В итоге, после замены переменных, получаем, что
(интеграл по отрезкам [p;R]u[-R;-p]) = i*Пи*Res(1/x^3) относительно z=0 ( не забываем, что это полюс третьего порядка ). Если нужно будет расписать интеграл по Г2, то там просто делаешь замену z=e^iy, и приводишь интеграл по Г2 к виду: интеграл по [0;Пи] , и соответсвующе замене преобразуешь подынтегральную функцию.
Этот интеграл и будет равен i*Пи*Res(1/x^3).
При (p->0, R->бесконечности) это и есть искомый интеграл.
Вроде так

всё верно, но там функция не 1/x^3, а e^3ix /x^3.
проблема показать, что интеграл по Г2 равен i*Пи*Res(e^3iz/z^3).

По-моему, это не верно.
Не не не, именно вычет по 1/z^3. Мы решали подобную задачу обобщенного вида, вместо e^3ix было e^iAx.
Подынтегральня функция имела вид f(z)*e^iAz

Так как интеграл берешь по полуокружности, уже вышел в комплекснуб плоскость, делаешь замену z=p*e^iu, (o<u<Пи). d(z) = i*p*e^iu*d(u) => Втыкаешь его в интеграл, и пусть e^(i*3p*e^iu) не смущает. При этом, предварительно 1/z^3 раскладываешь в ряд Лорана по (Z-Zo), ну в данном случае Zo=0. Там кое че подсократится. Коэффициенты, не забываеи, напрямую связаны с вычетами. В итоге, при (p->0) Весь интеграл -> i*Пи*Res(1/z^3)

спасибо) это довольно интересно. приду с пар - попробую.
Хорошо, хоть ответ известен)
Просто странно, что при подсчёте интеграла как i*Пи*Res(e^3iz/z^3) ответ совпадает с ответом в учебнике.
значит Res(e^kiz/z^3) = Res(1/z^3)? но Res(1/z^3)=0..

ответ чтоле (-3)*Пи ?

эм.. не совсем.
первоначальный интеграл sin^3(x)/x^3. Я его выразил как -(1/8)*Im(интеграл от ((e^3iz-3*e^iz+2)/x^3))
Ответ 3pi/8

Res(1/z^3)=0 насколько я помню

задача оказалась тривиальной, а я невнимательным.
z=0 в данном случае полюс первого порядка.

Как так то?) Степень 3, значит и полюс - 3 порядка

Ой все все, вопрос отпал) Все таки в уме все это делать не надежно)