Есть не пустое множество X, на нём два бинарных отношения R и S.
Отношение S является отношением эквивалентности (симметрично, транзитивно, рефлексивно). Значит разбивает множество X
на непересекающиеся классы эквивалентности C(x)= {y|xSy}, x из X.
На классах эквивалентности введём отношение R_S:
C(x)R_SC(y)<=> для любых u из C(x), w из C(y) (uRw).
Отношение R_S таково, что:
для любых различных C(x), C(y), C( z): (если C(x)R_SC(y)R_SC(z),то не верно, что C(x)R_SC(z)).
То есть между двумя различными классами, такими, что C(x) R_S C(z), не существует C(y) класса, отличного от C(x), C(z) такого, что C(x)R_SC(y)R_SC(z).
ВОПРОС: Верно ли, что классов эквивалентности не более, чем счётное число?
Ещё одно условие забыла написать:
Существует x0 в X такой, что для любого x из X верно: x0R.....Rx.
Белый Медведь
11.07.2015, 20:47
Последнее условие можно уточнить? Что такое x0R...Rx? Означает ли это, что из x0 можно добраться по R за конечное число шагов до любого элемента? Тогда есть пример с несчетным числом классов. И вообще, из общих теорем следует, что если можно задать такие аксиомы первого порядка, из которых следуют Ваши условия, для которого есть пример с бесконечным числом классов, то всегда можно построить пример и с несчетным числом классов.